OEF definicija vektorskega prostora --- Uvod ---

Ta modul vsebuje 13 vaj iz definicije vektorskega prostora. Reševalec mora preveriti aksiome iz definicije vektorskega prostora za različno definirane množice in operacije.

Oglejte si tudi zbirki vaj o vektorskih prostorih v splošnem ali o definiciji podprostorov.

Krožnice

Naj bo M množica vseh krožnic v kartezični ravnini. Na tej množici definiramo operaciji seštevanja krožnic in množenja krožnic s skalarji na naslednji način:

Če imata krožnici K₁ in K₂ središči (x₁,y₁) in (x₂,y₂) ter polmera , potem je njuna vsota K₁ + K₂ krožnica s središčem (x₁+x₂,y₁+y₂) in polmerom .
Če ima krožnica K središče (x,y) in polmer , je njen produkt z realnim skalarjem a krožnica aK s središčem (ax,ay) in polmerom .

Ali je tako opremljena množica M vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Prostor preslikav

Naj bo M množica vseh preslikav

f: ---> ,

ki jo opremimo z operacijama seštevanja in množenja preslikave s skalarjem na naslednji način:

Če sta f₁ in f₂ dve preslikavi iz množice M, potem je njuna vsota preslikava f₁+f₂: --> , definirana s predpisom (f₁+f₂)(x)=f₁(x)+f₂(x) za vsak x iz množice (seštevanje preslikav "po točkah").
Če je f preslikava iz množice M in a neko realno število, potem je njun produkt preslikava af: --> , definirana s predpisom (af)(x)=a(f(x)) za vsak x iz množice (množenje preslikave s skalarjem "po točkah").

Ali je takšna algebrska struktura M vektorski prostor nad poljem R ?

Absolutna vrednost

Naj bo M=R² množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenih parov s skalarji definiramo na naslednji način:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (|a|x,|a|y).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Afina premica

Naj bo M premica v ravnini, določena z enačbo c₁x+c₂y=c₃, in naj bo T=(x,y) neka izbrana točka na tej premici.

Za točke iz množice M definiramo operaciji seštevanja točk in množenja točke z realnim skalarjem na naslednji način:

+ = za točki =(x,y), =(x,y) iz premice M.
= za točko =(x,y) iz premice M in realni skalar .

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Drugačno seštevanje

Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, na kateri definiramo operaciji seštevanja urejenih parov in množenja urejenega para z realnim skalarjem na naslednji način:

(x,y)+(x,y) = (x+y,y+x).
a(x,y) = (ax,ay).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Polja

Ali je množica vseh z običajnima operacijama vektorski prostor nad poljem ?

Matrike

Naj bo množica vseh realnih matrik, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem, množenje matrike in realnega skalarja pa definiramo na naslednji način: Za matriko iz in realno število naj bo .

Ali je tako dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem R?

Matrike II

Množico matrik koeficienti opremimo z običajnima operacijama seštevanja matrik in množenja matrike s skalarji. Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem števil?

Množenje je deljenje

Naj bo M množica urejenih parov realnih števil, ki jo opremimo z običajnim seštevanjem urejenih parov, množenje urejenega para z realnim skalarjem pa definiramo na naslednji način:

a(x,y) = (x/a , y/a), če je a različen od 0, in
0(x,y)=(0,0).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Neničelna števila

Na množici M vseh realnih števil definiramo operaciji (seštevanje elementov iz M) in (množenje elementov iz M z realnimi skalarji) na naslednji način:

x y=xy (za vsoto vzamemo običajen produkt!).
a x=x^a (x na eksponent a).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Transafine operacije

Naj bo M množica vseh urejenih parov realnih števil. Operaciji (seštevanje urejenih parov) in (množenje urejenega para s skalarjem) definiramo na naslednji način:

(x,y) (x,y) = (x+x,y+y).
a (x,y) = (ax(),ay()).

Ali je tako definirana algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Transkvadratne operacije

Na množici urejenih parov

² definiramo operaciji (seštevanje urejenih parov) in (množenje urejenega para in skalarja) z naslednjima predpisoma:

(x,y)+(x,y) = (x+x,y+y).
a(x,y) = (ax,ay()²).

Ali je dobljena algebrska struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

Enotska krožnica

Naj bo M krožnica v ravnini, določena z enačbo x²+y²=1. Potem za vsako točko (x,y) iz M obstaja realno število t, tako da je x=cos(t), y=sin(t), zato lahko operaciji seštevanja točk in množenja točke s skalarjem definiramo s predpisoma:

(cos(t₁),sin(t₁))+ (cos(t₂),sin(t₂))= (cos(t₁+t₂),sin(t₁+t₂)).
a(cos(t), sin(t))= (cos(at), sin(at)).

Ali je dobljena struktura vektorski prostor nad poljem realnih števil?

D'autres vaje sur :

The most recent version

Description: zbirka vaj iz definicije vektorskega prostora. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, linearna algebra, vektor, vektorski prostor